Nato a Londra nel marzo 1905, noto soprattutto (insieme a Norman Tokar - Sam il selvaggio, 1963, Tigre in agguato, 1964, I cacciatori del lago d’argento,1965, Quattro bassotti per un danese, 1966, I ragazzi di Camp Siddons, 1966, Il più felice dei miliardari,1967, Un cavallo in doppio petto, 1968, Pascal, l’orsetto lavatore, 1969, Un papero da un milione di dollari, 1971 Pistaaaa… arriva il gatto delle nevi,1974, La banda delle frittelle di mele,1975, La gang della spider rossa,1977, Una ragazza, un maggiordomo e una lady, 1978 - e Don Chaffey - Le tre vite della gatta Tommasina - 1964 -, Elliott, il drago invisibile - 1977 -, La più bella avventura di Lassie - 1978) come uno fra i maggiori registi Disney degli anni Cinquanta, Sessanta e Settanta, prima del 1957 Robert Stevenson è stato molto altro.

In Inghilterra lavora come sceneggiatore a partire dal 1929 e, pochi anni dopo, esordisce alla regia dirigendo commedie (Happy Ever After - 1932), drammi storici (Destino di sangue - 1936) e avventurosi (King Solomon’s Mines - 1937 -, che verrà rifatto ad Hollywood nel 1950 - Le miniere di re Salomone di Compton Bennett e Andrew Marton, interpretato da Stewart Granger e Deborah Kerr) con ottima professionalità.

La sua bravura non sfugge a David O. Selznick (il potente produttore hollywoodiano di film quali Via col vento - 1939 - di Victor Fleming, Il mago di Oz - 1939 - di Victor Fleming, Rebecca la prima moglie - 1940 - di Alfred Hitchcock e Duello al sole - 1946 - di King Vidor), il quale, dopo Non sono una spia (1940) e L’ora del destino (1942) gli affida la versione cinematografica di Jane Eyre, ottenendo un film (La porta proibita - 1944) intenso e fedele al libro.

Sotto contratto con la RKO per vari film drammatici (Disonorata - 1947 -, Oppio - 1948 -, Schiavo della violenza - 1950 -, Voglio essere tua - 1951 -, interpretato da Robert Mitchum, Ava Gardner e Melvyn Douglas, La città del piacere - 1953 -, con Victor Mature, Jane Russell, Vincent Price e Brad Dexter), e poi anche in alcune regie televisive (fra il ’53 e il ’56 dirige alcuni episodi di telefilm come Gunsmoke, Lassie, Rin Tin Tin), a partire dal 1957 entra stabilmente al servizio della Disney, che, in quegli anni cominciava a girare i suoi primissimi film non d’animazione.

Nei vent’anni successivi dirigerà film quali gli avventurosi Old Yeller (Zanna gialla, 1957), con Dorothy McGuire, Fess Parker e Jeff York, e In Search of the Castaways (I figli del capitano Grant,1962), tratto dall’omonimo libro di Jules Verne (altri tre libri del noto scrittore francese erano già stati portati al cinema negli anni Cinquanta con Ventimila leghe sotto i mari - 1954 - di Richard Fleischer, Il giro del mondo in ottanta giorni - 1956 - di Michael Anderson e Viaggio al centro della terra - 1959 - di Henry Levin) e interpretato da Maurice Chevalier, Hayley Mills e George Sanders, i fantastici The Absen Minded Professor (Un professore fra le nuvole, 1961) e Son of Flubber (Un professore a tutto gas, 1963), con Fred MacMurray, Nancy Olson e Keenan Wynn e rifatti alla fine degli anni Novanta con Flubber - Un professore fra le nuvole (1997) di Les Mayfield, la serie sul maggiolino Herbie (Un maggiolino tutto matto - 1969 -, con Dean Jones, Michelle Lee, David Tomlinson e Buddy Hackett e Herbie, il maggiolino sempre più matto - 1974 -, con Ken Berry, Stephanie Powers, Helen Hayes e Keenan Wynn), serie che proseguirà poi con Herbie al Rally di Montecarlo (1977) di Vincent McEveety, con Dean Jones, Julie Sommars, Don Knotts e Jacques Marin, e Herbie sbarca in Messico (1980) di Vincent McEveety e con la miniserie televisiva The Love Bug (1982-83); il tutto passando per l’enorme successo del celeberrimo ed “evergreen” Mary Poppins (1964), fusione di eccellenti scenografie, animazioni, canzoni e dialoghi brillanti ed interpretato da Julie Andrews (Oscar come Miglior Attrice Protagonista al suo esordio cinematografico), Dick Van Dyke, David Tomlinson, Glynys Jones, Elsa Lanchester, Karen Dotrice, Matthew Garber.

Fra gli altri film Disney diretti da Robert Stevenson ricordiamo That Darn Cat (F. B. I. Operazione gatto, 1965), con Dean Jones, Hayley Mills, Dorothy Provine e Elsa Lanchester, The Gnomo-mobile (La gnomo mobile, 1967), con Walter Brennan, Richard Deacon, Karen Dotrice e Matthew Garber, Blackbeard’s Ghost (Il fantasma del pirata Barbanera, 1968), con Dean Jones, Suzanne Pleshette, Peter Ustinov ed Elsa Lanchester, Bedknobs and Broomsticks (Pomi d’ottone e manici di scopa, 1971), con Angela Lansbury (la futura Jessica Fletcher de La signora in giallo), David Tomlinson, Roddy McDowall e Sam Jaffe, My Dog the Thief (Bernardo, cane ladro e bugiardo, 1972), con Dwayne Hickman, Elsa Lanchester e Mary Ann Mobley, Island at the Top of the World (L’isola sul tetto del mondo, 1974), tratto dall’omonimo libro di Jules Verne e interpretato da David Hartman, Donald Sinden, Jacques Marin, One of Our Dinosaurs is Missing (Il mistero del dinosauro scomparso, 1977), con Peter Ustinov, Helen Hayes e Clive Revill, The Shaggy D. A. (Quello strano cane… di papà, 1977), remake di Geremia, cane e spia (1959) di Charles Barton e interpretato da Dean Jones, Suzanne Pleshette, Tim Conway e Keenan Wynn.

Dopo un paio di progetti non andati in porto, a partire dal 1980 si ritira a vita privata.