Nato a Londra nel marzo 1905, noto soprattutto (insieme a Norman Tokar e Don Chaffey) come uno fra i maggiori registi Disney degli anni Cinquanta, Sessanta e Settanta, prima del ’57 Robert Stevenson è stato molto altro.

In Inghilterra lavora come sceneggiatore a partire dal ’29 e, tre anni dopo, esordisce alla regia dirigendo commedie (Happy Ever After - 1932), drammi storici (Destino di sangue - 1936) ed avventure (King Solomon’s Mines - 1937 -, di cui verrà fatto un remake ad Hollywood (Le miniere di re Salomone - 1950 - di Compton Bennett e Andrew Marton, con Stewart Granger e Deborah Kerr) con ottima professionalità.

La sua bravura non sfugge a David O. Selznick (il potente produttore hollywoodiano di film quali Via col vento e Il mago di Oz di Victor Fleming, Rebecca la prima moglie di Alfred Hitchcock e Duello al sole di King Vidor), il quale, dopo Non sono una spia (1940) e L’ora del destino (1942), gli affida la versione cinematografica di Jane Eyre di Charlotte Brönte ottenendo un film (La porta proibita - 1944) intenso e fedele al libro.

Sotto contratto con la RKO per vari film drammatici (Disonorata - 1947 -, Oppio - 1948 -, Schiavo della violenza - 1950 -, Voglio essere tua - 1951 -, con Robert Mitchum, Ava Gardner e Melvyn Douglas, La città del piacere - 1952 -, con Victor Mature, Jane Russell, Vincent Price e Brad Dexter), e poi anche in alcune regie televisive (fra il ’53 ed il ’56 dirige alcuni episodi di serie tv come Gunsmoke, Lassie e Rin Tin Tin), a partire dal ’57 entra stabilmente al servizio della Disney, che in quegli anni cominciava realizzare i suoi primissimi film non d’animazione.

Nei vent’anni successivi dirigerà pellicole come gli avventurosi Old Yeller (Zanna gialla, 1957), con Dorothy McGuire, In Search of the Castaways (I figli del capitano Grant, 1962), tratto dal libro omonimo di Jules Verne  ed interpretato da Maurice Chevalier, Hayley Mills e George Sanders, i fantastici The Absen Minded Professor (Un professore fra le nuvole, 1961) e Son of Flubber (Un professore a tutto gas, 1963), con Fred MacMurray, Nancy Olson e Keenan Wynn e rifatti alla fine degli anni Novanta con Flubber - Un professore fra le nuvole (1997) di Les Mayfield, la serie sul maggiolino Herbie (Un maggiolino tutto matto - 1969 -, con Dean Jones, Michelle Lee, David Tomlinson e Buddy Hackett e Herbie, il maggiolino sempre più matto - 1974 -, con Helen Hayes, Ken Berry, Stephanie Powers, e Keenan Wynn), serie che proseguirà con Herbie al Rally di Montecarlo (1977) di Vincent McEveety, con Dean Jones, Julie Sommars, Don Knotts e Jacques Marin, e Herbie sbarca in Messico (1980) di Vincent McEveety e con la miniserie televisiva The Love Bug (1982); il tutto passando per l’enorme successo del celeberrimo “evergreen” Mary Poppins (1964), fusione di eccellenti scenografie, animazioni, canzoni e dialoghi brillanti ed interpretato da Julie Andrews (al suo esordio cinematografico e che vinse l’Oscar come Miglior Attrice Protagonista), Dick Van Dyke, David Tomlinson, Glynys Jones, Karen Dotrice, Matthew Garber e Elsa Lanchester.

Fra gli altri film Disney da lui diretti ricordiamo That Darn Cat (F. B. I. Operazione gatto - 1965), con Dean Jones, Hayley Mills, Dorothy Provine e Elsa Lanchester, Neville Brand e Frank Gorshin, The Gnomo-mobile (La gnomo mobile - 1967), con Walter Brennan, Richard Deacon, Karen Dotrice e Matthew Garber, Blackbeard’s Ghost (Il fantasma del pirata Barbanera - 1968), con Dean Jones, Suzanne Pleshette, Peter Ustinov e Elsa Lanchester, Bedknobs and Broomsticks (Pomi d’ottone e manici di scopa - 1971), con Angela Lansbury (la futura “Signora in giallo”) e David Tomlinson, My Dog the Thief (Bernardo, cane ladro e bugiardo - 1972), con Dwayne Hickman, Elsa Lanchester e Mary Ann Mobley, Island at the Top of the World (L’isola sul tetto del mondo- 1974), tratto dal  libro omonimo di Jules Verne ed interpretato da David Hartman, Donald Sinden, Jacques Marin, One of Our Dinosaurs is Missing (Il mistero del dinosauro scomparso, 1975), con Peter Ustinov, Helen Hayes e Clive Revill, The Shaggy D. A. (Quello strano cane… di papà, 1977), con Dean Jones, Suzanne Pleshette, Tim Conway e Keenan Wynn, remake di Geremia, cane e spia (1959) di Charles Barton. 

Dopo alcuni progetti non andati in porto, nel 1980 si ritira a vita privata, pochi anni prima della sua scomparsa.